BENBOU ile Kombinasyon Öğreniyorum!

Kombinasyon artık sadece formüllerle değil, oyunla da öğreniliyor!

Kombinasyon kavramı, özellikle ortaokul ve lise düzeyindeki öğrenciler için, matematikte anlaşılması en güç konulardan biri olabilir. Sıra önemli mi değil mi? Permütasyon neydi? Tekrar varsa ne olur? derken konu hızla soyutlaşır ve ezbere dönüşebilir.

Peki ya bu kavramı oynayarak öğretebilsek?

BENBOU Oyunu, sayılar ve şekillerle oluşturulmuş basit ama güçlü yapısı sayesinde birkaç ders saatinde kavranabilir. Kurallar öğrenildikten sonra öğretmenler düşündüren sorularla kavramı derinleştirebilir:

Oyun Sonrası Tartışma Soruları

1.Kaç farklı şekil vardı? Hangi şekiller daha çok tekrar etti?

Öğrencilerin, her kartta toplam 5 farklı geometrik şekil kullanıldığını fark etmeleri beklenir.

Aşağıdaki tablo, kullanılan şekillerin tekrar sayılarını gösterir. En çok tekrar eden şekil “üçgen”dir.

• Üçgen (39)
• Daire (36)
• Yarım daire (28)
• Dikdörtgen (23)
• Yamuk (23)
• Beşgen (23)
• Kare (21)
• Paralelkenar (20)
• Altıgen (20)

Bu soru, yalnızca doğru cevabı bulmak için değil, öğrencilerin gözlem yapma ve yorumlama becerilerini geliştirmek amacıyla sorulmuştur. Bu tür sorularla, merak eden ve detaylara dikkat eden öğrencilerin ilgisi keşfedilebilir.

2. Bu kombinasyonu başka hangi yollarla oluşturabiliriz?

Öğrencilerin şu farkındalıklara ulaşması hedeflenir:

• Aynı şekillerden oluşan ama sıraları farklı formlar olabilir.
• Farklı şekillerden oluşan ama sıraları aynı olan formlar da mümkündür.

Örneğin:

• Aynı sayı kümesi (1, 2, 3, 3, 4), farklı sıralarla farklı görünüşler kazanır.
• Farklı şekiller (üçgen, kare, daire, altıgen, beşgen) aynı sırada dizildiğinde görsel benzerlik yaratabilir.

Bu gözlemler, permütasyon kavramına giriş niteliğindedir. Öğrencilere, “Bu 5 şekli kaç farklı sırayla dizebiliriz?” gibi sorularla yeni düşünme yolları açılabilir.

3. Bu oyundaki seçenek sayısı sizce sınırsız mı?

Hayır, sınırsız değil. Çünkü kullanılan şekil sayısı ve tekrar kuralları bellidir. Ancak bu sınırlar içinde çok fazla sayıda varyasyon oluşturmak mümkündür. Bu durum, sınırlı elemanlarla bile sınırsız gibi hissettiren bir yaratıcılık alanı sağlar.

4. Kartları incelediğinizde neden “11111” gibi bir kombinasyon yok?

Aynı şeklin 4 ya da 5 kez tekrar etmesi oyunun yapısını zayıflatır.

BENBOU oyunu, 10’ar sayı kartı ve 4 oyuncu ile oynanabilir şekilde tasarlanmıştır. Eğer kartlarda “11113” ya da “44444” gibi tekrarlar yer alsaydı:

• Oyuncu sayısını azaltmak
• ya da sayı kartlarını artırmak gerekirdi.

Bu nedenle, oyunda tıkanmaların önüne geçmek için çeşitliliğe dayalı kombinasyonlar tercih edilmiştir.

5. Aynı şekiller farklı sırayla dizilince aynı mı sayılır? Örneğin: 11234 ile 11324 aynı mı?

• Eğer sıra önemsiz ise: Aynı kombinasyondur (kombinasyon yaklaşımı).
• Eğer sıra önemli ise: Farklı kombinasyonlardır (permütasyon yaklaşımı).

Bu soru, öğrencilerin kombinasyon ve permütasyon arasındaki farkı anlamaya başlaması için önemlidir.

6. 1, 2, 3, 4 rakamlarından oluşan, 5 şekilli kaç farklı “sayı çuvalı” oluşturabiliriz?

Bu, tekrarlı kombinasyon sorusudur. Dört farklı rakamla (1, 2, 3, 4) 5 elemanlı tekrarlı kombinasyonlar:
Formül: C(n+r−1,r)=C(4+5−, 5)=C(8,5)=8!/5!⋅3!= 56
Yani, 1-4 arası sayılardan oluşan ve 5 eleman içeren 56 farklı sayı çuvalı oluşturulabilir.

Uygulama Etkinliği

Öğrenciler, grup çalışmasıyla aşağıdaki adımları uygular:

• 5 farklı sayı kombinasyonu seçin.
• Her kombinasyonu geometrik şekillerle temsil eden BENBOU gibi birer “form” oluşturun.
• Bu formları görsel bir düzende sınıfa sunun (örneğin, poster).

Kapanış Sorusu

Kombinasyon sadece bir matematiksel işlem mi?
Kombinasyon sadece formüllerle sınırlı bir işlem değil; aynı zamanda bir düşünme biçimidir.

• Görselleştirilebilir: Şekillerle, renklerle ifade edilebilir.
• Tasarlanabilir: Yeni düzenlemeler ile yaratıcı çözümler geliştirilebilir.
• Oynanabilir: Kurallar, hamleler ve grup dinamiğiyle öğrenmeyi destekler.
• Günlük yaşamda uygulanabilir:
  Örneğin:
  • Kıyafet kombinleri yapmak
  • Menüler oluşturmak
  • Takım kurmak
  • Çeşitli seçenekler arasından karar vermek gibi…

Günlük Hayattan Kombinasyon Örnekleri ile Uygulamalar:

Müzik: 4 nota ile kaç farklı melodi oluşturulabilir? → 4 notalı bir melodi için: 4! = 24 farklı sıralama

Spor: 11 oyuncudan kaç farklı kaptan üçlüsü seçilebilir? → C(11,3)=165

Tasarım: 5 renk ve 3 desenle kaç farklı tişört tasarımı yapılabilir? → 5 × 3 = 15 farklı tasarım

Yemek: 6 malzeme ile kaç tatlı kombinasyonu çıkar? → 6 malzemeden 3 tanesini seçerek: C(6,3)=20

Kodlama: 3 karakterli bir şifre kaç farklı biçimde yazılabilir? → Eğer her karakter 26 harften seçiliyorsa:

• Tekrar varsa: 26x26x26 = 17.576
• Tekrar yoksa: 26×25×24=15.600  ( P(26,3) = 26!/(26-3)!=26!/23!=26x25x24=15.600 )

Daha fazlasını keşfetmek ister misiniz?
“Benbou’nun Şifreleri” yazımızda, 9 geometrik şekilden 5’inin seçilmesi ve sayı atamalarındaki kısıtlamalarla nasıl 120.960 farklı kart kombinasyonu elde edildiğini adım adım açıklıyoruz. Detaylı hesaplamalar ve örneklerle konuyu derinlemesine incelemek için bu yazıya göz atabilirsiniz.

 Neden Oyun Temelli Bir Yaklaşım?

• Öğrenciyi merkeze alır.
• Deneyimle kavratır, keşfetmeyi teşvik eder.
• Formül değil, anlam odaklı öğrenmeyi destekler.

Oyunla başla → Anlamla devam et → Matematikle pekiştir.

BENBOU’nun Bilişsel ve Sosyal Katkıları

• Görsellik: Soyut sayı dizileri, şekillerle temsil edilince gözle görülür ve elle tutulur hale gelir.
• Sezgisel Öğrenme: Sayının tekrar etmesi, simetri veya dengesiz dağılım gibi özellikler öğrencinin içgörüsünü geliştirir.
• Tasarım Odaklı Düşünme:Öğrenciler doğruyu aramakla kalmaz; aynı zamanda kendi “doğru”larını tasarlar.
• İş birlikli Öğrenme:Grup içinde akıl yürütme, fikir paylaşımı ve yaratıcı çözüm üretimi teşvik edilir.

Öğretmenler İçin Ne Kazandırır?

1. Kombinasyon Konusunu Derinleştirir

Ezberden uzaklaşıp, tekrar eden elemanlar ve eşdeğer yapıların etkisini gözle gösterir.

2. Çoklu Zekâ Alanlarını Harekete Geçirir

• Görsel-uzamsal: Şekil seçme, form oluşturma
• Mantıksal: Sayılardan anlamlı yapılar üretme
• Kinestetik: Malzeme kullanımı, yerleştirme
• Sosyal: Grup içinde iş birliği yapma

3. Farklı Öğrenme Stillerine Hitap Eder

Sadece anlatmak yetmeyen, görerek ve dokunarak öğrenen öğrenciler için birebirdir.

4. Yaratıcılık ve Soyutlama Bir Arada

Matematikte “tek doğru” anlayışı yerine üretim, esneklik ve anlam kazanır.

BENBOU ile matematik sadece bir ders değil, bir deneyim alanına dönüşüyor. Kombinasyon artık sadece formül değil, bir oyun, bir tasarım, bir keşif!